Aguirre Cleto nace en Salta en 1834, año en que esta provincia se separa el territorio de Jujuy. Hijo de Camilo Aguirre y Francisca Aguirre y Luján. Realiza sus primeros estudios en su ciudad natal y una vez concluidos se dirige a la ciudad de Buenos Aires donde realiza sus estudios superiores en la Facultad de Medicina, titulándose de médico en 1855. Participa como médico practicante durante la batalla de Caseros. De regreso a su ciudad natal se convierte en un médico prestigioso y se relaciona con las principales familias de su provincia. Esto lo lleva a ser electo diputado nacional por Salta en 1862. Hacia mediados de la década de 1860 los enfrentamientos políticos internos de su provincia provocan la caída del gobernador Juan N. Uriburu, el cual es reemplazado por un tío suyo que no es aceptado por un sector de la clase dirigente. A causa de esta situación Aguirre es electo gobernador en agosto de 1864, considerado como una figura capaz de apaciguar algunos enfrentamientos de corte facciosa. Durante su gestión como gobernador se llevan a cabo numerosas iniciativas que contribuyen a la modernización de la provincia, como la creación de escuelas, la creación del Banco Provincial, entre otras medidas. En 1866 deja la gestión y su sucesor lo designa Ministro de Gobierno de la Provincia. Dos años después es nuevamente electo diputado por la provincia. En esta etapa de su vida Aguirre se dedica a perfeccionarse en el conocimiento de la medicina, especializándose en la oftalmología, disciplina que estudia en diversos hospitales y academias de Europa. A su regreso del viejo continente en 1870, la ciudad de Buenos Aires se encuentra afectada por una epidemia de fiebre amarilla. El prestigioso médico, aporta sus conocimientos y su labor al cuidado y prevención de dicho mal. Como oftalmólogo aporta sus conocimientos para mejorar dicha especialidad en los círculos de estudiantes y médicos de la ciudad, creando además, la cátedra de oftalmología en la Facultad de Medicina. Es nuevamente electo diputado por el partido mitrista, en 1874. Renovando su banca de diputado, cuatro años después, esta vez por el partido Autonomista Nacional del presidente Nicolás Avellaneda. En sus últimos años ocupa el cargo de Decano de la Facultad de Medicina de la Universidad de Buenos Aires, y es uno de los fundadores del prestigioso Hospital de Clínicas José de San Martín, en 1888. Un año después, muere a la edad de 55 años, en la ciudad de Buenos Aires.