Nació en Bueno Aires, el 19 de octubre de 1835. Fueron sus padres don Eladio de la Quintana y Uzín y Manuela Sáenz de la Gaona y Álzaga. Se graduó de doctor en jurisprudencia en 1855. Tres años más tarde, en la Academia de Jurisprudencia, tuvo el honor de pronunciar el primer discurso de apertura. Fue catedrático de derecho civil en reemplazo de Marcelino Ugarte, en 1859. Mantuvo una áspera discusión con Dalmacio Vélez Sarsfield, porque Quintana dijo que Eduardo Acevedo había sido el autor del Código de Comercio. La respuesta de Vélez Sarsfield fue a través de un periódico, en el cual se transcribió una nota de Acevedo, quien reconoció que Vélez Sarsfield también era el autor y no solamente un corrector. Fue electo Diputado Nacional al Congreso de Paraná, pero no pudo asumir, porque las elecciones que lo consagraron como legislador no se habían realizado según la ley vigente en aquel momento. Durante su segunda participación en el Congreso Nacional, fue el autor del proyecto de ley que pretendía establecer que Rosario fuese la capital del país. También fue el impulsor de la interpelación al ministro de Guerra, luego de la batalla de Curupayti. Fue importante su discurso, cuando propuso que fuera el Congreso quien regulara, votara y autorizara los pedidos de intervención y que no fuera una decisión exclusiva del gobierno de turno. Ambas Cámaras aprobaron dicho proyecto, pero el presidente Sarmiento lo vetó. En 1871, fue enviado a Paraguay para cumplir funciones diplomáticas e iniciar la negociación del tratado definitivo de paz., durante la cual tuvo serias divergencias con el Barón de Cotegipe. En 1874, fue candidato a presidente de la Nación, pero no prosperó dicha postulación, porque no tuvo apoyo de ningún partido político de arraigo. En la Cámara Alta, intervino en los debates para la creación del parque Tres de Febrero y sobre la ley de amnistía para los revolucionarios de 1874. En 1878, fue electo Diputado por tercera vez. En esta ocasión, ratificó lo expresado durante su mandato anterior con respecto a las intervenciones a las provincias por parte del gobierno Nacional. Solamente estuvo dos años como legislador, porque fue uno de los varios integrantes que se negaron a trasladarse hasta Belgrano, donde durante un tiempo se llevaron a cabo las sesiones. Presidió la comisión que se encargó de la repatriación de los restos del general don José de San Martín. En 1888, junto el doctor Roque Sáenz Peña fue en enviado a Montevideo para asistir al Congreso Sudamericano de Derecho Internacional Privado. Allí intervino en la discusión del Tratado de Derecho Penal y replicó al doctor Andrade Figueira. Además, presentó el despacho de la mayoría sobre derecho civil. Al año siguiente, viajó nuevamente con el doctor Sáenz Peña rumbo a la ciudad de Washington para concurrir a la Conferencia Internacional Panamericana, donde presentó un proyecto sobre el establecimiento del arbitraje en América, a los efectos de resolver algunos conflictos internacionales. A pedido del Presidente de la Nación, doctor Luis Sáenz Peña, ocupó el cargo de Ministro del interior, pero dos meses más tarde presentó su renuncia, pues consideró que faltaba homogeneidad al gabinete ministerial. Unos meses más tarde, volvió a presidir el ministerio, porque Sáenz Peña lo convocó, pues había nombrado a nuevos ministros. Su primera medida fue decretar el estado de sitio en todo el país. Ordenó la intervención la provincia de Buenos Aires, en donde se restableció el orden a las pocas semanas. En el Congreso, obtuvo la aprobación de leyes para poder intervenir las provincias de Santa Fe y San Luis. Además, fue posible resguardar la paz en Tucumán, pese a la revolución que había comenzado. Entre 1894 y 1902, trabajó como abogado en su propio estudio. En 1902, fue electo Diputado Nacional por cuarta vez. Como presidente de la comisión de Relaciones Exteriores, pronunció un expresivo discurso sobre los pactos diplomáticos con Chile. Dos años después, resultó electo Presidente de la Nación, al vencer en las elecciones de ese mismo año, junto a su compañero de fórmula, el doctor José Figueroa Alcorta. Al poco tiempo de asumir el mando, se produjo la revolución radical, la fuel fue sofocada fácilmente en la capital y sofocada en el interior, cuyos culpables fueron enjuiciados, condenados y enviados a la prisión de Tierra del Fuego. Su administración impulsó la construcción de telégrafos, disminuyó los derechos que gravaban el consumo y realizó reformas a la enseñanza y también a la justicia. La orientación económica permitió el desarrollo de la agricultura, se produjo un aumento de las exportaciones y la deuda pública disminuyó considerablemente. Además, el presupuesto para el año 1906, presentó un importante superávit. El 12 de agosto de 1906, se frustró un atentado criminal contra su persona, cuyo responsable fue Salvador Planas y Virella, un anarquista catalán, quien ya tenía antecedentes policiales. El intento de asesinato no tuvo éxito, porque Planas y Virella martilló varias veces su arma y los proyectiles no salieron. En pleno ejercicio de sus funciones como Presidente de la Nación, murió el 12 de marzo de 1906, en Buenos Aires. Se casó con doña Susana Rodríguez Viana.